【覚えておいて損はない!】平行四辺形の辺と対角線の関係性

【対象年次:高校一年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

今回は平行四辺形の辺と対角線の長さに関する関係式について紹介したいと思います。
では、本題の前にまず図形の公式の中でも最も有名な公式「三平方の定理」から見ていきましょう。

$三平方の定理$
$斜辺の長さをcとする直角三角形について、他2辺の長さをそれぞれa,bとすると$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}が成り立つ。$

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また直角三角形だけではなく、どんな三角形に対しても成立する"余弦定理"というものもありましたよね。

$△ABCに対して以下の3式が成立する。$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosA$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cacosB$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosC$

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ではこれに対して、平行四辺形ではどのような公式が成り立つのでしょうか？
この公式はどんな平行四辺形においても成立するので、もしかすると図形の問題を解く際に役に立つかもしれません！

$平行四辺形の辺と対角線の関係性：$
$平行四辺形において2辺の長さをa,bとし、2本の対角線の長さをp,qとすると$
$p^{2}+q^{2}=2(a^{2}+b^{2})が成立する$

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どうでしょう？中々綺麗で覚えやすい公式なのではないかと思います。
そしてこの公式は先ほど紹介した"余弦定理"で簡単に証明できてしまいます！
では、実際に証明していきましょう。

[証明]

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2辺の長さを $AB=DC=a,AD=BC=b$ とし、2本の対角線の長さを $AC=p,BD=q$ とする平行四辺形を考える。
このとき、対角線 $AC$ より対角線 $BD$ のほうが長い $(p≤q)$ こととする。
また、平行四辺形の大きな方の内角 $∠BAD=θ$ とすると、小さな方の内角は平行四辺形の性質により $∠ABC=(180-θ)$ と表される。
このとき、余弦定理を持ちいると以下の2式が成立する。

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2×AB×BC×cos∠ABC…(赤色の三角形)$
$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2×AB×AD×cos∠BAD…(青色の三角形)$

すなわち、

$p^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(180-θ)$
$q^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcosθ$

となる。これを $cos=$ の式に書き換えると、

$cos(180-θ)=\frac{a^{2}+b^{2}-p^{2}}{2ab}$
$cosθ=\frac{a^{2}+b^{2}-q^{2}}{2ab}$

となる。
ここで $cos(180-θ)=-cosθ$ に気を付けて、この2式を足し合わせると

$cosθ+cos(180-θ)=\frac{a^{2}+b^{2}-q^{2}}{2ab}+\frac{a^{2}+b^{2}-p^{2}}{2ab}$
$cosθ-cosθ=\frac{a^{2}+b^{2}-q^{2}}{2ab}+\frac{a^{2}+b^{2}-p^{2}}{2ab}$
$0=\frac{2(a^{2}+b^{2})-(p^{2}+q^{2})}{2ab}$
$0=2(a^{2}+b^{2})-(p^{2}+q^{2})$
$p^{2}+q^{2}=2(a^{2}+b^{2})$
$[Q.E.D$ ]