iの平方根 √iは複素数？｜虚数,複素数の話

【対象年次:高校二年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

今回は虚数,複素数のお話になります。
パッと言われてこの2つについて説明できますか??
もしできなければ、まずは復習がてら虚数,複素数とはどんなものだったか見ていきましょう！
(分かる人は読み飛ばしちゃってOKです!)

虚数単位 $i$ とは以下のような定義がされています。

$虚数単位iは2乗すると-1になる数で\sqrt{-1}と等しい$

これは高校二年で習いますね。
どんな実数も2乗するとプラスになるはずなので、2乗するとマイナスになる数は実数ではない…
だからこれを「虚数」として定めたのでした。
一般的に「虚数」というと、この $i$ が含まれた数のことをいいます。
ちなみに中学三年で学ぶ2次方程式の解の公式からも、この虚数が現れるときがあります。

$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ の√の中身
$b^{2}-4ac$ がマイナスになるとき解が虚数になるのでした。

では、一旦話を戻しましょう。
さらに、この虚数単位 $i$ を用いると複素数というものが定義できるのでした。

$a,bを実数として、複素数a+biが定義できる$

この $a+bi$ は $b=0$ のとき $i$ が消えるので「実数」、逆に $b\neq0$ のとき $i$ が含まれるので「虚数」になります。
すなわち「複素数」とは「実数」と「虚数」を合わせたものだと言うことができます。

$(複素数の世界)=(実数の世界)+(虚数の世界)$

これが複素数の原型であり、この $a+bi$ の形で表すことのできない数は複素数ではないということになります。

ではここで虚数単位 $i$ の平方根を考えてみましょう。
安直に考えれば、そのときその数は

$\sqrt{i}$

と書かれることになります。

あれ？でもこれ複素数 $a+bi$ の形で表されていませんよね？
まさか、これは複素数には当てはまらない概念なのでは！？超越虚数だ！！！

…なんて考えていた時期が僕にもありました。
メチャクチャイタい奴ですねw
超越虚数ってなんだよ、中二病かよって感じですね(笑)

結論から述べると $\sqrt{i}$ は複素数です。
実際には約束事を決めて $\sqrt{i}$ の意味を考えると複素数の形で表すことができるのです！
順を追って説明していきましょう。

まず $\sqrt{i}$ の意味から考えてみましょう。
これを言葉に直すと2乗して $i$ になる数ということです。
そんな数は複素数の世界にあるのでしょうか？

では $\sqrt{i}$ を複素数であると仮定して計算してみます。
このとき、

$\sqrt{i}=a+bi(a,bは実数)$

と表されることになります。
ではここでこの両辺を2乗してみましょうか

$\sqrt{i}^{2}=(a+bi)^{2}$
$i=a^{2}+(2ab)i+(bi)^{2}$
$i=a^{2}+(2ab)i-b^{2}$
$i=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i$

となりますね！
ではここで両辺の実部( $i$ がない部分)と虚部( $i$ がついてる部分)を比べてみましょう。

左辺は言い換えれば $0+1i$ ということなので、
$(左辺の実部)=(右辺の実部)$ 、 $(左辺の虚部)=(右辺の虚部)$ で式を立ててみると…

$0=a^{2}-b^{2}$
$1=2ab$

という式が完成します。
これを頑張って解いてみましょう！まず2つ目の式から。この両辺を2乗すると、

$1=4a^{2}b^{2}$

となりますね。
そして1つ目の式を移項すると出てくる

$a^{2}=b^{2}$

という式を代入して $b$ を消去すると、

$1=4a^{2}b^{2}$
$1=4a^{2}×a^{2}$
$1=4a^{4}$
$a^{4}=\frac{1}{4}$
$a^{2}=±\frac{1}{2}$

ここで、 $a$ が実数ということを考えると
$a^{2}=-\frac{1}{2}$ はあり得ないことが分かるので(実数は2乗してマイナスならないんでしたよね！)

$a^{2}=\frac{1}{2}$

ということは、さらにこの式の平方根をとって

$a=±\frac{1}{\sqrt{2}}$

となります！
あとは $a^{2}=\frac{1}{2}$ なのでこれを $a^{2}=b^{2}$ に代入すれば、

$b^{2}=\frac{1}{2}$

すなわち $b$ も $a$ と同じく、

$a=±\frac{1}{\sqrt{2}}$

となりましたね。

ここまでの結果をまとめると、
$i$ の平方根を $\sqrt{i}=a+bi(a,bは実数)$ とすれば、その $a,b$ の値は

$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$ または $a=b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

となり、ここから $i$ の平方根は2つあり、その値は

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i,-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i$

となることが判明しました！

実際に2乗してみても、
$(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)^{2}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}+2\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}}i+(\frac{1}{\sqrt{2}}i)^{2}=i$
となります。(マイナスの方は自分で計算してみてね)