【定義不可能⁈】0の0乗はどうなるの？

【対象年次:高校一年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

みなさんは $0^{0}$ がどんな値になるのか考えたことはありますか？
「は？そんなの当たり前に分かるじゃん」と思いますか？
実はこの問題、そんなに簡単ではないのです。
そんな怪しい数、 $0^{0}$ について一緒に考えていきましょう！

では、そもそも $0^{0}$ はどんな値だと考えられているのでしょうか？
…実は数学者の中でも画一的な答えは出ていないようです。
$0^{0}$ がどんな値だと考えるかによって、数学者たちは大きく3つの派閥に分かれています。
それを紹介していきますね！

❶ $0^{0} = 0$ 派
「0なんだから0乗しても0でしょ！」という派閥です。
確かに $0^{x} = 0(xは正の実数)$ なので、この考え方は理にかなっていますよね。

❷ $0^{0} = 1$ 派
「ほかのどんな数も0乗すると1になるから！」という派閥です。
実際 $x^{0} = 1(xは正の実数)$ なので、これも筋が通っています。

❸ $"定義なし"$ 派
「値が一つに定まる確証がないので定義しない！」という派閥です。
少し面白みに欠けますが、そもそも考えないのが正解なのかもしれません。

さて、3つの派閥を紹介しましたがなんだか煮え切らない感じですよね…
でももし $0^{0}$ を定義するとしたらどんな数がいいでしょうか？
それを考えると、 $0^{0}$ の謎について少し近づくような気がします！

結論から言いましょう。
実は $0^{0} = 1$ と定義した方が、多くの場面で都合がいいのです。
あくまでも「都合がいい」だけで、正しい定義なのかどうかは議論の余地があることにご注意ください🙇
では、その理由をいくつか見ていきましょう！

理由１関数y=x^xのグラフの形から

関数 $y = x^{x}$ のグラフを考えてみましょう。
この関数の定義域(代入してよい $x$ の範囲のこと)は通常 $x > 0$ ですが、 $x=0$ まで延長して考えることでその $y$ の値が $0^{0}$ となりますよね。
そして関数 $y = x^{x}$ のグラフは以下の赤い曲線になります。

どうでしょう？
グラフの形を見る限り、なめらかに書き足すなら $x=0$ での $y$ の値は $1$ に近づくように見えるんです。
つまり $0^{0} = 1$ である方がより自然な形になるということです！

これだけでは証拠として弱いですか？
では次の理由も見てみましょう！

理由２二項定理を成立させるため

今度は高校一年で習う"二項定理"を成立させる、という観点から $0^{0}$ を考えてみましょう。
二項定理とは「二つの項を持つ括弧を展開するための公式」で、

$(a + b)^{n} = {}_{n}C_{0} a^{n} b^{0} + {}_{n}C_{1} a^{n-1} b^{1} + {}_{n}C_{2} a^{n-2} b^{2} + \cdots + {}_{n}C_{n} a^{0} b^{n}$

というものでした。
この二項定理の公式に $b = 0$ を代入するとどうなるでしょうか？

$(a + 0)^{n} = {}_{n}C_{0} a^{n} \cdot 0^{0} + {}_{n}C_{1} a^{n-1} \cdot 0^{1} + {}_{n}C_{2} a^{n-2} \cdot 0^{2} + \cdots + {}_{n}C_{n} a^{0} \cdot 0^{n}$

もちろん $0^{1}=0^{2}=\cdots=0^{n}=0$ なので、右辺の最初の項以外はすべてゼロになるから、

$(a + 0)^{n} = {}_{n}C_{0} a^{n} \cdot 0^{0}$

${}_{n}C_{0}$ は"n個のものから0個選び出す組み合わせ"なので当然 $1$ ですから、

$a^{n} = a^{n} \cdot 0^{0}$

となりますね！
ここでもし $0^{0} ≠ 1$ とすると、この等式は成立しないので、 $b = 0$ のときに二項定理は成り立たないことになってしまいます。
サイアクですね笑

こうならないように、 $0^{0} = 1$ とした方が都合がいいのです。
さっきの理由よりは信憑性が高い気がしますね！

理由３その他にも色々便利なことがある

ここでは紹介しませんが、「組み合わせ論における空写像」や「一般的なべき級数展開」など、 $0^{0} = 1$ とすると都合がよい場合が他にもいくつかあるのです。
これはもう $0^{0} = 1$ にするしかありませんね！
また、あまり関係ないかもしれませんが、 $0$ の階乗は $1$ になるので、
$0! = 1$
こういった観点からも、 $0^{0} = 1$ の方がなんか納得感があるかもしれません。
まあ、そもそもなんで $0$ の階乗は $1$ になるんだよ、というツッコミはここではスルーさせてください😂