ガウス記号を含む方程式の解法!! - 中高生にも分かる数学

【対象年次:中学一年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

今回は「ガウス記号」を含んだ方程式の解法について紹介したいと思います。
というか…そもそもまず「ガウス記号」ってなんだよって思う人が多いと思いますので、説明していきます。
「ガウス記号」 $⌊x⌋$ の定義は、

$N≦x＜(N+1)となる実数xにおいて、⌊x⌋=Nとなる$

いやいやよく分からんわ！とアレルギーが出てしまう人のために、例を示しますね！

例えば $⌊5.5⌋$ はどんな値になるでしょうか？
上記の定義に当てはめると、 $5＜5.5＜6$ なので、この不等式の真ん中にある $5.5$ をガウス記号 $⌊⌋$ に当てはめた $⌊5.5⌋$ の値は $5$ と等しいことになります。 $(⌊5.5⌋=5)$

この調子でやっていくと、
$3＜π＜4$ なので、 $⌊π⌋=3$
$2≦2＜3$ なので、 $⌊2⌋=2$
となりますね。

これらの例を見ると、 $⌊x⌋$ の値は $x$ の整数部分と等しいということが分かりますね。
※円周率 $π=3.14...$ なので、 $π$ の整数部分 $3$ と $⌊π⌋$ の値が等しいことが分かる

しかし、 $x$ がマイナスのときはその整数部分の意味に注意しなければいけません。
$x$ がマイナスのとき、ガウス記号の定義に当てはめて考えると、

$-6＜-5.5＜-5$ なので、 $⌊-5.5⌋=-6$
$-4＜-π＜-3$ なので、 $⌊-π⌋=-4$
$-2≦-2＜-1$ なので、 $⌊-2⌋=-2$
となります。

これはちょっと整数部分という感覚とは異なりますよね。
「 $5.5$ の整数部分は $5$ なのになんで $-5.5$ の整数部分は $-6$ なの？？」という疑問も沸いてくるのかもしれません。
ですがそもそも整数部分というものの意味を以下のように考えるとつじつまが合います。

$「実数xの整数部分は、x以下でそれに最も近い整数である」$

例えば $-5.5$ より $-5$ は大きいので整数部分とは言えず、それより小さい $-6$ が整数部分となるわけです。
よくわからない人は下の図を見てください。
$-5.5$ の左にあって最も近い整数である $6$ が $-5.5$ の整数部分ということになります。

そしてこのように「整数部分」を定義するのならば、ガウスの記号 $⌊x⌋$ は実数 $x$ の整数部分を表していることになるのです！

$「ガウスの記号⌊x⌋はx以下でxに最も近い整数、すなわち整数部分を表している」$

あくまで $x$ 以下なので例えば $⌊-2⌋=-2$ となることには注意です！！

これでガウスの記号については大体わかってもらえたと思います。
それでは本題に入ります。ガウスの記号を含む方程式についてです。
方程式と言えば1次,2次,3次といろんな次数の方程式がありますが、今回は一番簡単な1次方程式の解き方を紹介したいと思います。

例えばこんな方程式を考えてみましょう。

$2⌊x⌋-5x+3=0$

「たぶん $x=1$ が解なんだろうな...」と気づいたアナタ、才能あります。
$x=1$ はこの方程式の解の一つになります。 $⌊1⌋=1$ なので $x=1$ を代入すれば等号は成り立ちますからね。

しかし、この方程式にはもう一つ解があると言われたら困る人も多いのではないでしょうか？
ですからそんな皆さんに、もう一つの解を導くことのできるいい方法をここでお教えしましょう！

ではまず、この方程式が通常の1次方程式(例えば $2x-5x+3=0$ など)と比べて厄介な点は何でしょうか？

そうです。
$⌊x⌋$ と $x$ は全く異なる文字として扱わなければならないということです。
$2a-5b$ がこれ以上計算できないように、 $2⌊x⌋-5x$ も計算できないのです。

ではどうすればよいのでしょうか。
ポイントは「 $x$ を整数部分と小数部分に分解する」ことです。

例えば $5.5$ の整数部分と小数部分はいくつでしょうか？
整数部分は先ほど紹介した通り $5$ ですし、小数部分は整数部分ではない部分なので $0.5$ となります。
ここで少し機械的に考えると、「ある数 $x$ の小数部分」とは「 $x$ から $x$ の整数部分を引いて余ったもの」だということに気付くでしょう。
そして $x$ の整数部分は $⌊x⌋$ ですから、

$xの小数部分=x-⌊x⌋$

ということなります。
このとき $5.5$ と $-5.5$ の小数部分を例として考えると、

$5.5の小数部分=5.5-⌊5.5⌋=5.5-5=0.5$
$-5.5の小数部分=-5.5-⌊-5.5⌋=-5.5-(-6)=0.5$

という感じになります。
ここでさらに言えることは、小数部分は以下の不等式を満たすということです。

$0≦小数部分＜1$

これは、小数というものが1未満の数を表すことを考えると当然だと言えますね。
ちなみに小数部分が $0$ になるとき、その数は整数となります。

そして、この $x$ を整数部分と小数部分に分解する方法がかなり強力な効果を発揮するのです！

ではここで $x$ の小数部分を $p$ としてみましょう。このとき、

$p=x-⌊x⌋$

移項して

$x=⌊x⌋+p$

が成り立つことがわかります。これを方程式に代入してみましょう。

$2⌊x⌋-5x+3=0$
$2⌊x⌋-5(⌊x⌋+p)+3=0$
$-3⌊x⌋-5p+3=0...(式1)$

となります。これをさらに $⌊x⌋$ について解いてみましょう。

$⌊x⌋=\frac{-5p+3}{3}...(式2)$

となりますね。
だから何？とか言わないでくださいね…汗
このように変形することで $⌊x⌋$ の範囲がわかります。いわば解となる $x$ の候補を絞り込むことができるのです。
思い出してください、 $p$ は $x$ の小数部分でしたよね。
ということはもちろん、

$0≦p＜1$

を満たすわけです。
式2を $p$ を変数とする一次関数とみなすと定義域は $0≦p＜1$ なので、 $⌊x⌋$ の値域は
$-\frac{2}{3}＜⌊x⌋≦1$
となります。

分かりやすくするために、以下のグラフを使いましょう。
下図は横軸 $p$ ,縦軸 $⌊x⌋$ であり、直線の赤い部分が $⌊x⌋=\frac{-5p+3}{3}$ の定義域 $0≦p＜1$ である部分となります！
この赤い部分のうち一番上の部分は $⌊x⌋=1$ ,一番下の部分は $⌊x⌋=-\frac{2}{3}$ となるので、値域は $-\frac{2}{3}＜⌊x⌋≦1$ となるわけです！

そしてここで注意してほしいのは $⌊x⌋$ が整数ということです。この不等式を考えると $⌊x⌋$ のとりうる値は

$⌊x⌋=0,1$

しかないことがわかります。数直線を描くともっと分かりやすいかもしれません。
そして今度は逆に式1に $⌊x⌋=0,1$ をそれぞれ代入します。場合分けになりますが、根気よくやりましょう！

$⌊x⌋=0$ のとき
$-3⌊x⌋-5p+3=0$
$-5p+3=0$
$p=\frac{3}{5}$
となります。 $x=⌊x⌋+p$ なので、
$x=0+\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$ です。

$⌊x⌋=1$ のとき
$-3⌊x⌋-5p+3=0$
$-3-5p+3=0$
$p=0$
となります。同様に $x=⌊x⌋+p$ なので、
$x=1+0=1$ です。
これは最初に見つけた解と同じですね！

よって
$2⌊x⌋-5x+3=0$
の解は
$x=0,\frac{3}{5}$ の２つとなるわけです。

この方法を応用すればガウス記号を含む基本的な一次方程式を解くことができます！

おさらい：
１．一次方程式をすべて左辺に移項し最も簡単な形にする。(項は3つになるはずです)
２． $x=⌊x⌋+p$ を代入する
３．代入後の方程式を $⌊x⌋$ について解いて $p$ についての一次関数にする
４． $p$ の範囲 $0≦p＜1$ から $⌊x⌋$ の範囲を導き、とりうる $⌊x⌋$ の値を挙げる
５．各 $⌊x⌋$ の値に対して $p$ の値を求める
６． $⌊x⌋$ と $p$ が求められたので $x$ の値も求められる

さて、いかがでしたでしょうか？
少し難しいですが、 $⌊2x⌋-5x+8=0$ を解いて理解できたか確かめてみてください！
※ヒント①: $x=⌊x⌋+p$ を $⌊2x⌋$ に代入すると、 $⌊2x⌋=⌊2⌊x⌋+2p⌋=2⌊x⌋+⌊2p⌋$ となる
→明らかに整数である部分はガウス記号の外に出せるため( $2⌊x⌋$ は明らかに整数)
※ヒント②: $⌊2p⌋$ の値によって式が変わるので、 $0≦p＜\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{2}≦p＜1$ の２パターンで場合分け
→前者の場合 $⌊2p⌋=0$ ,後者の場合 $⌊2p⌋=1$ として扱うことができる