【絶対に理解できる!!】カルダノの公式｜三次方程式の解の公式

【対象年次:高校二年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

突然ですがみなさん、二次方程式の解の公式はご存じですか？
…はい、そうです。

$2次方程式 ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)の解は$
$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}と表される$

ということでした。
では、二次方程式だけではなく「三次方程式」にも解の公式があることはご存じでしたか？

別名「カルダノの公式」と呼ばれるこの解の公式は、複雑すぎて実用性は低いですが、確かに存在することが証明されています。
今回はそんな三次方程式の解の公式について、それはどんな形の式なのか？どうやって導き出すのか？
絶対に理解できるように丁寧に解説していきますのでぜひ最後までご覧ください！
間違いなく、どのサイトよりも分かりやすいと自負しております！！

①1の三乗根ωについて
②ωを利用した三次式の高度な因数分解
③三次方程式の変形(立方完成)
④解の公式の導出

①1の三乗根ωについて

まず三次方程式の解の公式を導き出す前の準備として1の三乗根について説明させてください。
もうすでに知ってるという方は飛ばしていただいて構いません！

とりあえず、1の三乗根の意味から考えてみましょう。
1の三乗根とは「三乗すると1になる数」のことです。…そのまんまですねw
ではそれは具体的にはどんな数でしょうか？まず真っ先に思い浮かぶのは…
そう、1ですね。1それ自体も1の三乗根の一つになります。(1³=1ですからね！)

では1以外に1の三乗根はあるでしょうか？
「ないんじゃね？」と思った方、…半分正しいです！
確かに実数の範囲には1の三乗根は1以外にありませんが、複素数の範囲まで考えるとどうでしょう？もしかしたらあるかもしれませんよね。

では1の三乗根を求めるためにこんな方程式を考えてみましょう。

$x^{3}=1$

これを解けば1の三乗根が全てわかりそうです！
まずは移項して、因数分解してみましょう。

$x^{3}-1=0$
$(x-1)(x^{2}+x+1)=0$

因数分解は $x^{3}-a^{3}=(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})$ を使いました。
ではここで、方程式を解くうえで非常に重要な基本事項を使いましょう。
その基本事項とは、

$AB=0ならばA=0またはB=0$

のことです。
掛け算で0になるときは掛ける前の数のどちらかが0という性質ですね！
これを使えば、

$x-1=0$ または $x^{2}+x+1=0$

ということになります。
$x-1=0$ は $x=1$ ということで問題ないですが、もう一つは二次方程式になってますので二次方程式の解の公式を使って解いてみましょう。

$x^{2}+x+1=0$
$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4×1×1}}{2}$
$x=-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{-3}}{2}$

$\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$ ですので、

$x=-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$

となりますね！そしてこの2つの複素数(プラスとマイナスで2つ)も1の三乗根であるはずです。
気になる人は実際に三乗してみてください！

さて、複素数の範囲まで考えると1の三乗根は
$1,-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$
の3つあることが分かりました。
このうち $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を $ω$ と呼ぶことにしましょう。
ちなみにこの名づけ方は $x,y$ のような変数的命名ではなく、どちらかというと $π=3.14…,i=\sqrt{-1}$ のような定数的命名だということにご注意ください。長くて書くのが面倒臭いので、特別に文字で置き換えているという感じです。

ここで、1の三乗根を含む計算で使える便利な性質を見ていきましょう。

$1の三乗根の性質$
$ω^{3}=1$
$ω^{2}+ω+1=0$

まず $ω^{3}=1$ は1の三乗根なので当たり前ですね！
そして $ω^{2}+ω+1=0$ は $ω$ が方程式 $x^{2}+x+1=0$ の解の一つであることを思い出すと理解できます。
(方程式には解を代入すると成立するという性質があります！)

そしてこのとき、 $ω$ だけでなく $ω^{2}$ も1の三乗根になっていることがわかります。
なぜなら $(ω^{2})^{3}=ω^{6}=(ω^{3})^{2}=1^{2}=1$ であり、
確かに三乗すると1になっていますよね。
ちなみにしっかり $ω^{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ になってます！よって、次のことが言えます。

$1の三乗根は複素数の範囲に1,ω,ω^{2}の3つある。$

さらに、 $ω$ と $ω^{2}$ を足すと $-1$ になることも覚えておいて損はないでしょう。
この性質は
$ω^{2}+ω+1=0$
$ω^{2}+ω=-1$
から分かります。

②ωを利用した三次式の高度な因数分解

ではセクション1で説明した1の三乗根 $ω$ を利用して三次式を因数分解してみましょう。
因数分解は一般的な意味では「実数の範囲」での因数分解のことを指しますが、ここでは複素数の範囲の因数分解を考えてみます。
例えば、

$a^{2}+b^{2}$

は実数の範囲ではどうやっても因数分解できませんが、
複素数の範囲では虚数単位 $i$ を使って、

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$

と無理やり因数分解することができます！
ではここで三次式

$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ$

を因数分解してみましょう。
まずは実数の範囲で以下のように因数分解できます。

$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=(X+Y+Z)(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-ZX-XY-YZ)$

なかなか難しい因数分解ですが、頭のいい人なら簡単にできるかもしれません。
そしてここからさらに $ω$ を使って複素数の範囲で以下のように因数分解できちゃいます！

$(X+Y+Z)(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-ZX-XY-YZ)=(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)$

んー、難しい！
このように無理やり因数分解することはあまりないですから、拒否反応が起きてしまうかもしれませんが、実はこの因数分解こそが三次方程式の解の公式を導き出す過程で最も重要なポイントであると言っても過言ではないでしょう。
ここでは計算しませんが、この因数分解が本当に正しいかどうか判断するためには括弧を外して展開していくといいと思います。
$ω^{3}=1$ と $ω^{2}+ω=-1$ であることに注意すればちゃんと計算できるはずです！

ではまとめです。

$三次式X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZは次のように因数分解することができる。$

$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)$

③三次方程式の変形(立方完成)

三次方程式の解の公式を求めるために、一般的な三次方程式がどのような形をしているのか考えてみましょう。
二次方程式の解の公式を出すときに想定する二次方程式の一般形を思い浮かべれば、答えは簡単です。

$2次方程式の一般形 ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$

これと同じように考えて、

$3次方程式の一般形 ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\neq0)$

となります！
そして、この三次方程式の一般形に対して
$x=(a,b,c,dで表された式)$
という式にできれば、それが三次方程式の解の公式となります。

ではこの複雑な方程式を少し簡単にするために「立方完成」という操作をしてみます。
この「立方完成」は $(式)^{3}$ と変形することではなく、「次数が2の項を消去する」という操作であることにご注意ください！
具体的にどうすればいいかというと、

$x=t-\frac{b}{3a}$

を代入して $x$ の式から $t$ の式に変形してください。
こうすることで、次数が2の項がうまく消えてくれるんです！
ではここからは実際の計算になります。

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

まず両辺を $a(\neq0)$ で割って、

$x^{3}+\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$

ここで $x=t-\frac{b}{3a}$ を代入し、

$(t-\frac{b}{3a})^{3}+\frac{b}{a}(t-\frac{b}{3a})^{2}+\frac{c}{a}(t-\frac{b}{3a})+\frac{d}{a}=0$

括弧を展開し、ミスしないように計算してうまくまとめると

$t^{3}+\frac{-b^{2}+3ac}{3a^{2}}t+\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}=0$

となります。ここで、

$p=\frac{-b^{2}+3ac}{3a^{2}},q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}$

と置き換えれば、

$t^{3}+pt+q=0$

と簡単な形になりました。
ここであくまでも $p,q$ は全く関係ない値ではなく、 $a,b,c,d$ で表されるということに注意してください。

という感じで、計算はだいぶ省きましたが

$3次方程式 ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a\neq0)はうまく変形することで$
$t^{3}+pt+q=0という形にすることができる$

ということが分かりましたね。
そして狙いどおり次数が2の項が消えてくれました！
先ほども言った通り、目標は $x$ を求めることですが、 $x=t-\frac{b}{3a}$ なので
$t$ を求めれば自動的に $x$ を求めることができるので、ここからは元の方程式の代わりに
$t^{3}+pt+q=0$ を解けばいいということになります！

④解の公式の導出

突然ですが、ここで三次方程式
$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0$
について考えてみます。これはセクション2で紹介した因数分解を使えば、
$(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)=0$
と変形できますね。

そしてセクション1で紹介した、方程式を解く上での基本事項を思い出してください。

$AB=0ならばA=0またはB=0$

これは掛け算で0になるときは掛ける前の数のどちらかが0という性質でした。
ここで、これをさらに応用すれば

$ABC=0ならばA=0またはB=0またはC=0$

ということがわかります！この性質を使うと、

$(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)=0$

ならば、

$X+Y+Z=0またはX+ωY+ω^{2}Z=0またはX+ω^{2}Y+ωZ=0$

となります。

2つの方程式の接続/変形

今度は三次方程式 $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0$ を
三次方程式 $t^{3}+pt+q=0$ に接続してみましょう。

「いきなりそんなこと言われても…」と思うかもしれませんが、これも非常に重要なステップです。
ちなみにここでいう”接続”とは、簡単に言えば「 $X,Y,Z$ に適切な数を代入して $t^{3}+pt+q=0$ に変形する」ということです。
では具体的にどのような数を代入すれば $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0$ を $t^{3}+pt+q=0$ に変形できるのでしょうか。

見通しとしては、 $X$ を変数 $t$ に移し替えて、 $Y,Z$ を定数 $p,q$ に移し替えていくイメージです。
なんだかフワッっとした説明で申し訳ないですが、計算過程を見た方が分かりやすいと思うのでとりあえずやってみますね。

まず単純に $X=t$ で置き換えます。すると、
$t^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3tYZ=0$
となります。これだと分かりにくいので項を並び替えてみましょう。
$t^{3}+(-3YZ)t+(Y^{3}+Z^{3})=0$
こうして見ると、だいぶ $t^{3}+pt+q=0$ に近づいてきたと思いませんか？
さらにここで、
$-3YZ=p,Y^{3}+Z^{3}=q$
と置き換えることによって、
$t^{3}+pt+q$
に変形することに成功しました！ごちゃごちゃしてきたので一旦まとめますね。

$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0は$
$X=t,-3YZ=p,Y^{3}+Z^{3}=qと置き換えることによって$
$t^{3}+pt+q=0に変形することができる。$

また、 $-3YZ=p,Y^{3}+Z^{3}=q$ と置き換えましたが、
これでは具体的な $Y,Z$ の値が分かりません。
なのでこの関係式から $Y,Z$ を求めてみましょう！(具体的には $Y,Z$ を $p,q$ を含んだ式で表します)

Y,Zをpおよびqの式で表す

まず、 $-3YZ=p$ を $Z$ について解くと、
$Z=-\frac{p}{3Y}$
となりますね。そしてこれを
$Y^{3}+Z^{3}=q$
に代入すると、
$Y^{3}+(-\frac{p}{3Y})^{3}=q$
$Y^{3}-\frac{p^{3}}{27Y^{3}}=q$
となります。ここまでは大丈夫でしょうか？
そしてこのままでは $Y$ が分母にあって扱いにくいので、 $Y^{3}$ を両辺に掛けて、
$Y^{6}-\frac{p^{3}}{27}=qY^{3}$
$Y^{6}-qY^{3}-\frac{p^{3}}{27}=0$
という式になりました。

「…いや、3次方程式解こうとしてるのに6次方程式出てきてしまってるやん…」と思われてしまうかもしれませんが、そうなんです。
3次方程式の解の公式を導くには、一度このような6次方程式を経由しないといけないのです…複雑ですね。
しかし、この6次方程式はある工夫をすればそこまで大変な方程式ではありません。
ではどのような工夫をすれば解けるのか。それは「 $Y^{3}$ を1つの文字として見る」ということです！
具体的に式で見ると、
$(Y^{3})^{2}-q(Y^{3})-\frac{p^{3}}{27}=0$
ということです。
こうして見ると分かりますが、この方程式は $Y^{3}$ に関する二次方程式とみなすことができますね！
では実際に解の公式を使って解いてみると

$Y^{3}=\frac{-(-q)±\sqrt{(-q)^{2}-4×1×(-\frac{p^{3}}{27})}}{2×1}$

分母にある $\frac{1}{2}$ を $\sqrt{}$ の中に入れて計算すると、

$Y^{3}=\frac{q}{2}±\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$

となりました！なんだかそれっぽくなってきましたね！
では今度は $Z^{3}$ の値も求めてみましょう。 $Y^{3}+Z^{3}=q$ にこれを代入すると、

$\frac{q}{2}±\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}+Z^{3}=q$
$Z^{3}=q-\frac{q}{2}∓\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$
$Z^{3}=\frac{q}{2}∓\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$

ここで、 $\sqrt{}$ の前にある符号が $±$ ではなく $∓$ であることに注意しましょう。
こうして $Y^{3},Z^{3}$ の値が分かりましたが、みなさんはこの2つの違いが「 $\sqrt{}$ の前にある符号が互いに逆である」だけなことに気づきましたでしょうか？
そして、このことから

$Y^{3}=\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$ のとき $Z^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$
$Y^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$ のとき $Z^{3}=\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$

となることがわかります。
さらにこの $Y^{3},Z^{3}$ は「対称」であるため、符号を勝手に決めてしまって構いません。
ですからここでは、

$Y^{3}=\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}},Z^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$

とすることにします。
「対称」であることは「入れ替え可能である」こととほぼ同じ意味ですが、詳しくは下で解説しておきますので、よく分からないという方は参考にしてみてください！ちなみに、この記事では $Y,Z$ を入れ替えても最終的に意味が全く変わらないようになってますので、よかったら確認してみてください。

〈対称と対称式とは〉
ある式の中で、入れ替えても式の内容が入れ替わらない文字があるとき、その文字同士は「対称」であるといいます。
そしてその式のことを、その文字同士における「対称式」といいます。
そして「対称」である2つの数には自由に条件を設定できる場合があります。
例えば、「和が5,積が6になる2つの数は？」と聞かれたときに $α+β=5,αβ=6$ という式を立てると、
$α=2,β=3$ または $α=3,β=2$ という答えが得られますが、実質求められているのは $2,3$ という答えだけなので $α$ がどっちか？ $β$ がどっちか？ということはどっちでもいいですよね？
だから便宜上 $α=2,β=3$ にしちゃおう！と考えてもいいわけです。
そしてこうなるのは、 $α,β$ が「対称」すなわち「入れ替え可能」であるからなのです。

話を元に戻しましょう。
$Y^{3}=\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}},Z^{3}=\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}$
としたので、ここからさらに $Y,Z$ を求めましょう。

本当はもう少し慎重に考えなくてはなりませんが、
ここでは単に三乗根をとることで $Y,Z$ を求めることにします。
ちなみに三乗根とは「三乗すると元の数になる数」のことで、
平方根を $\sqrt{}$ で表すのに対し、三乗根は $^{3}\sqrt{}$ で表すことができます。
ということで $Y,Z$ はそれぞれ、

$Y=^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}},Z=^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}$

となります！
さあ、ここまでくれば解の公式まではあと少しです！

解の公式の導出

ここで少し前の話を思い出してください。

三次方程式 $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0$ は因数分解することで、
$(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)=0$ と変形できて、このとき
$X+Y+Z=0またはX+ωY+ω^{2}Z=0またはX+ω^{2}Y+ωZ=0$ となるのでした。

また、三次方程式 $X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0$ は、
$X=t,-3YZ=p,Y^{3}+Z^{3}=q$ と置き換えることによって、
$t^{3}+pt+q=0$ に変形することができるのでしたね。
そしてこのとき、 $Y=^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}},Z=^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}$
となるのでした。

この2つのことをまとめると、
$X+Y+Z=0またはX+ωY+ω^{2}Z=0またはX+ω^{2}Y+ωZ=0$
かつ
$X=t,Y=^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}},Z=^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}$
なので

$t+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}=0$
または
$t+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω^{2}=0$
または
$t+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω^{2}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω=0$

となります。
ここからさらに、立方完成時に使った
$x=t-\frac{b}{3a}$
すなわち
$t=x+\frac{b}{3a}$ を代入し、

$x+\frac{b}{3a}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}=0$
または
$x+\frac{b}{3a}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω^{2}=0$
または
$x+\frac{b}{3a}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω^{2}+^{3}\sqrt{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω=0$

最後に移項により $x=$ の形にすることと、 $^{3}\sqrt{}$ の中にマイナスの符号を入れることができることに注意して並び替えると、

$x=-\frac{b}{3a}+^{3}\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}+^{3}\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}$
$x=-\frac{b}{3a}+^{3}\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω+^{3}\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω^{2}$
$x=-\frac{b}{3a}+^{3}\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω+^{3}\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}}}ω^{2}$
$ただしp=\frac{-b^{2}+3ac}{3a^{2}},q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}$

どうでしょう！
確かにこれは $x=(a,b,c,dで表された式)$ になっていることが分かりますね！
そしてこれが「カルダノの公式」と呼ばれる三次方程式の解の公式になります。
これがあれば、どんな三次方程式も一応解くことができるわけです！
まあ…複雑すぎて覚えられませんけどね…

やはり、この解の公式を導く上で最も重要になってくる部分は
$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ=0$ を
$(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)=0$ と因数分解できることでしょう。

方程式を解くことは「『対称性』を崩すことだ」と言われることがありますが、この因数分解の正体こそ正にその「対称性の崩れ」だと思います。
なぜなら一段階前の $(X+Y+Z)(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-ZX-XY-YZ)=0$ という形では $X,Y,Z$ はどれを入れ替えても式の意味は変わらないのに、
$(X+Y+Z)(X+ωY+ω^{2}Z)(X+ω^{2}Y+ωZ)=0$ とさらに1の三乗根を使って因数分解することによって、 $X,Y$ および $X,Z$ は互いに入れ替えられなくなってしまっているからです。
いやあ…興味深いですね…