格子点に当たらないレーザービーム - 中高生にも分かる数学

【対象年次:中学一年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

レーザービーム!?
タイトルで??と思った人も多いかもしれません。
今回は「」

そうです、「格子点」です。

意味としては

$xおよびyがともに整数であるような座標(x,y)$

のことですね。すなわち座標が整数の点のことです。
例を挙げるなら、 $(0,0),(2,3),(-1,8)$ などでしょうかね。
そしてこの格子点はx-y座標平面にびっしりと無限に存在しています。

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ではここで面白いことを考えてみましょう。

あなたは広大な海原(x-y座標平面)に放り出されてしまいました。
あなたは原点にいます。
このままだと数日後には溺死してしまうので、何とかSOS信号を出そうとあなたは思いました。
そんなところに、無限に遠くまで届くレーザービームを発する機械を発見しました。
これを使えばどうにか救助を呼ぶことができそうです。
ですが、ここで問題が一つ。
実は海上には等間隔に光に反応する爆弾が設置されており、あなたのSOS信号を邪魔してきます。に格子点に存在する格子点上に光に反応する爆弾が設置されてしまったとします。
そして、原点上にいるあなたは好きな方向(角度)にレーザービームを放ちます。
もちろんレーザービームの光が格子点にある爆弾に当たると即座に爆発してしまいます。

このときあなたは格子点にある爆弾を爆発させずに、無事にレーザービームを放つことができるでしょうか？

という問題ですが、これは次のように言い換えることができます。

$原点以外の格子点を通らないような直線は存在するか？$

てか結局言い換えるなら最初から例なんて出すなよって？
許してください。例題を使うことで分かりやすくすることがモットーのブログなので…

さて、どのような直線が原点以外の格子点を通らないのでしょうか？
まず原点を通る直線は「比例」の式と同じなので $y=ax$ と表されることが分かります。
例えば $y=\frac{5}{7}x$ のような直線はどうでしょうか？
これは $x=7$ のとき $y=5$ となるので格子点 $(7,5)$ を通ってしまいます。

この例から考えるとどうやら $y=ax$ という

例えば
$y=\sqrt{3}x$
は、原点 $(0,0)$ 以外の格子点を通りません。
そのことをたしかめてみましょう。６０°の角度で放てばよいそうすれば全て交わすことができる

$y=\sqrt{2}x$ が $原点(0,0)$ を通ることは、
$x=0,y=0$ がこの方程式の解になることから容易に分かります。
ではそれ以外の格子点はどうでしょう。格子点を通るためには

$y=\sqrt{2}xのxとyが同時に整数になる$

という必要がありますが、果たしてそれは可能でしょうか？
もし $x$ が0以外の整数ならば、もちろん $\sqrt{2}x$ は無理数となります。
ということは、 $y$ は整数ではないことになってしまいます。
すなわち、

$x$ が0以外の整数ならば $y$ は整数ではない
↓
$x,y$ は0以外に同時に整数とはならない
↓
直線 $y=\sqrt{2}x$ は原点以外の格子点を通らない

よってそのような角度でレーザービームを発射すれば爆弾を爆破させることなく平和、ということですね！
また、原点も含む格子点すべてを通らないような直線も作ることができます。
例えば、 $y=\sqrt{2}x+\sqrt{3}$ とかです。本当にそうなるか確かめてみてください！

では、今回はこれで終わりです。

「中高生にも分かる数学」では数学が苦手な人にも非常に分かりやすい記事を心がけています。
他にもいくつか記事があるので、ご覧いただけると嬉しいです！
では、また他の記事でお会いしましょう！