【これで解決】複雑な分数を約分する方法！

【対象年次:中学一年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

今回は数学検定１級で出題された、約分の問題を解説していきたいと思います。
「いや、約分とか小学生でもできるでしょ」と思ったそこのアナタ！
この問題を解いてみてください！

$\frac{10033}{12877}を約分せよ。$

…どうでしょうか。
これを一瞬で約分できる人はなかなかいないんじゃないかと思います。
$2,3,5,7,...$ どれを試してもビクともしてくれません…
ではこういうとき、どうしたらいいのでしょうか？

それを解き明かすカギは、そもそも「約分」とは何なのかを考えることです！

例えば、 $\frac{6}{8}$ や $\frac{35}{10}$ のように約分できる分数は、分子と分母に $1$ より大きな最大公約数があります。
最大公約数が $2$ や $5$ のように小さな数であれば、一瞬で約分ができちゃいますが、そうでない場合にはその最大公約数を求めるところから始めなくてはいけません。

では、 $\frac{10033}{12877}$ に話を戻しましょう。
もしこの分数が約分できるのであれば、 $10033$ と $12877$ には最大公約数があるはずなので、それを仮に $d$ としましょう。
このとき、ある自然数 $a,b$ を用いて

$10033=a×d$
$12877=b×d$

と表すことができますね。
ではこの２つの数を引き算してみましょう。

$12877-10033=(b-a)×d$
$2844=(b-a)×d$

ここで $2844$ を素因数分解してみましょう。
素因数分解とは、ある自然数を「素数」だけの掛け算で表すことでしたね。
幸いなことに $2844$ は $2$ と $3$ を素因数に持つので、やりやすいです！
$2844={2}^2×{3}^2×79$
$79$ は素数ですので、これで素因数分解終了です。

よって
$2^{2}×3^{2}×79=(b-a)×d$
となりますが、このとき $d$ に該当するのは $79$ のみであることが分かります。
なぜなら、 $d$ は $10033$ と $12877$ の最大公約数なので $10033$ と $12877$ は $d$ の倍数でなくてはなりませんが、 $10033$ は $2$ の倍数でも $3$ の倍数でもないからです。