ゼータ関数と素数｜誰でもその凄さが分かる解説!!

$ζ(s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...$

と定義されています。自然数の逆数の累乗和で表されます。
この関数と素数はどのように関連しているのでしょうか？今回はそのことについてお話します。

$(式1の左辺)-(式2の左辺)=(式1の右辺)-(式2の右辺)$

$ζ(s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...$
の両辺に $\frac{1}{2^{s}}$ をかけると
$\frac{1}{2^{s}}ζ(s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+...$
となり、前の式から辺々を引くと、
$(1-\frac{1}{2^{s}})ζ(s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+...$
となり偶数の項が消えます。さらに、この両辺に $\frac{1}{3^{s}}$ をかけると、
$\frac{1}{3^{s}}(1-\frac{1}{2^{s}})ζ(s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}...$
となり、前の式から辺々を引くと、
$(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})ζ(s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+...$
となり2の倍数でなく3の倍数である項が消えます。

このようにして、次々と $\frac{1}{p^{s}}(pは素数)$ をかけて、前の式から辺々を引くと最後には1だけが残り、
$...(1-\frac{1}{7^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{2^{s}})ζ(s)=1$
となるので、ゼータ関数は
$ζ(s)=\frac{1}{(1-\frac{1}{2^{s}})(1-\frac{1}{3^{s}})(1-\frac{1}{5^{s}})(1-\frac{1}{7^{s}})...}$
と素数と1だけで表現することができるのです。