互いに素な数の「和」と「差」の性質

【対象年次:中学一年～】

みなさんこんにちは！
中高生にも分かる数学のお時間です。

今回は互いに素な2つの数の「和」と「差」の性質についてのお話になります。
その性質とは以下のようなものです。

$自然数a,bが互いに素ならば、(a+b)はaともbとも互いに素である。$
$また、(a-b)もa,bと互いに素である。$

ちなみに「互いに素」とはお互いに共通因数を持たないような数同士に対して使う言葉になります。
さて、この性質は色々な整数問題を解くのに非常に有用な性質ですが、
これは本当に正しいのか、証明していきたいと思います。

まずこの証明には「背理法」を用いることにしましょう。
背理法はその命題が間違っていると仮定して、その矛盾を示して間接的にもとの命題を証明することでした。

もとの命題が間違っているとすると、
$「自然数a,bが互いに素なとき、(a+b)はaまたはbと共通因数を持つ」$
となります。

ではまず $(a+b)$ と $a$ が共通因数を持つとして、その共通因数を $K(2以上の自然数)$ としましょう。
ここで $K$ を2以上の自然数としたのは、 $K=1$ であればそもそも $(a+b)$ と $a$ は共通因数を持つことにならないからですね！
「共通因数」とは2以上の自然数という条件があり、1は共通因数とは言えないのです。
さて、このとき
$(a+b) = Kp (pは自然数)…式1$
$a = Kq(qは自然数)…式2$
と表すことができます。ではこの2つの式の引き算をしてみましょう！

$(式1の左辺)-(式2の左辺)=(式1の右辺)-(式2の右辺)$
$(a+b)-a=Kp-Kq$
$b=K(p-q)$

もちろん $a$ は $K$ を因数に持つことになりますよね。
そして $a$ より $(a+b)$ の方が大きいので $p＞q$ となり、 $(p-q)$ は自然数です。
しかしこれでは $b=K(p-q)$ なので、 $b$ も $K$ を因数に持つことになってしまいました。
これは「 $a,b$ が互いに素」に矛盾するので、 $(a+b)$ と $a$ が共通因数を持つという仮定が間違っていることが分かりましたね！