エルデスシュトラウスの予想を証明!⑥「z差分法」と解の存在域

エルデスシュトラウスの予想に関する記事もこれで6つ目になります。
今回は $「z差分法」$ という方法を用いてエルデスシュトラウスの予想の解を見つけていきたいと思います。

まず $「z差分法」$ とは何かと言いますと、

エルデスシュトラウスの予想の解が満たしうる条件
$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$
を変形して、
$\frac{4}{n} - \frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
とすることです。

この $\frac{1}{z}$ で差をとることから $「z差分法」$ です。
じゃあなんで $z$ なの？ $x,y$ とかでもよくない？！
という意見がありますが、ちゃんと $z$ である理由があるのです。

前回の記事をすでに見ている方は大丈夫ですが、まだ見ていない方はぜひご覧ください。

picolinateu.hatenablog.com

この記事にも書いてありますが、(＊＊)の解形式における $z$ は $x,y,z$ のうち「最小」の数であるとのことでした。
これはすなわち、(＊＊)の解形式において、 $\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}$ のうち「最大」であるのは $\frac{1}{z}$ であるということが言えるのです。
そして、この3つの分数のうち最大である $\frac{1}{z}$ を引いてあげることで、効率よく $\frac{4}{n}$ の大きさを減らしてあげることができるのです！

じゃあ、効率よく減らせることが何の利点になるのかというと、それはこれからする説明を理解してもらう必要があります。
ここで $「z差分法」$ を行った左辺を計算していきましょう。

$\frac{4}{n} - \frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
$\frac{4z-n}{nz} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

となりますね。
ここでx,yが自然数であることを考えると、(右辺)が正の値であることが分かるので、
同時に(左辺)が正の値であることも分かります。
もちろんn,zも自然数なので

$4z-n ＞0$
$4z ＞n$

ここで $n=24k+1型の素数$ ということに注意すると、

$4z ＞24k+1$
$z ＞6k+\frac{1}{4}$

となりますね！
また、zが自然数であることに注意して不等式を書き換えると、

$z ≥6k+1$

となります。
この変形は前回の記事でも行っていますね。
$6k+\frac{1}{4}$ より大きく最小の自然数は $6k+1$ という考えからこの変形を行うことができるのです。
また、前回記事の式①
$z ≤ n-1$
に $n=24k+1$ を代入して、

$z ≤ (24k+1)-1$
$z ≤ 24k$

となることが分かります。
以上2つの結果により、

$6k+1 ≤ z ≤ 24k$

となることが分かり、
エルデスシュトラウスの予想が成立するための $z$ の値の範囲が決定されます。
ここから理解できるように、 $z$ が3つの数の中で「最小」であるため、
このエルデスシュトラウスの予想が成立する解の存在域も「最小」に設定することができるのです！
もしこれが $x$ や $y$ の不等式だと範囲はもっと広くなってしまうでしょう。

考えなくてはいけない範囲が減るので、もちろんこの「解の存在域」は狭い方がよいということになります。
これでさきほどの
$なぜ「z差分法」なのか$
という理由が理解できると思います！

さて、これで一段落…
と思ったのもつかの間、実はこの $z$ の上限、(＊＊)の解形式においてはもっと縮めることができるのです！
前回は $z ≤ n-1$ と紹介しましたが、実際の $z$ は $n$ よりもっと小さな数なのです！
今からそれを証明しましょう。

っと、その前に準備として次のような定理を紹介しましょう。

$＜特殊単位分数定理＞$
$仮分数であるような分数\frac{A}{B}(＞1)において$
$\frac{A}{B}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}(p,qは自然数)と2つの単位分数に分解するとき、そのどちらかは1である$

この定理は特別難しくはなく、割と簡単に理解できると思います。
おなじみの背理法で証明してみましょう。

仮に $\frac{1}{p}$ も $\frac{1}{q}$ も1ではない、すなわち $p≥2,q≥2$ と仮定しましょう。
このとき右辺の最大値は $\frac{1}{p}$ と $\frac{1}{q}$ がそれぞれ $\frac{1}{2}$ になるときで、その値は
$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$
となりますね。しかし、左辺は仮分数すなわち1より大きい数ということでした。
どれだけ頑張って右辺を大きくしようとしても、左辺に届くことはありません。
これは矛盾ですね！
よって、上記の定理が正しいことが分かります。

さて、話はかなり戻りますが、 $「z差分法」$ を用いて得られた式
$\frac{4z-n}{nz} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$
の左辺の大きさについて評価してみましょう。

解形式(＊＊)においては
$x=nrab,y=nrbc$
となるので、これを代入すると、

$\frac{4z-n}{nz} = \frac{1}{nrab} + \frac{1}{nrbc}$
両辺にnをかけて、
$\frac{4z-n}{z} = \frac{1}{rab} + \frac{1}{rbc}$
となることがわかりますね！
ここで先ほどの<特殊単位分数定理>を用いてみましょう！

$もし、\frac{4z-n}{z} ＞1ならば、\frac{1}{rab}および\frac{1}{rbc}のどちらかは1と等しい$

では、 $\frac{4z-n}{z} ＞1$ のとき $rab=1$ としてみましょう。
このとき $r,a,b$ はすべて自然数なので $r=a=b=1$ となることがわかります。
(自然数同士の積が1となる場合は1×1×1×…=1しかありえません！)
これを(＊＊)の解形式が満たす式
$4rabc=nb+c+a$ 　※解形式(＊＊)を代入すると得られます
に代入してみましょう！